КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

  "УТВЕРЖДАЮ" 
	Проректор                  
	__________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Линейная алгебра

Цикл ЕН.Ф.

Специальность: 010900  – Астрономия

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса 
 по специальности: 010900  – Астрономия

АВТОР: Егоров А.И.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:  Данный курс состоит из следующих частей:
а) основные алгебраические понятия,
б) теория линейных пространств  и линейных операторов,
в) линейные, билинейные, квадратичные, полулинейные, эрмитовы формы,
г) самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в линейных евклидовых и унитарных пространствах,
д) поверхности второго порядка в аффинном евклидовом пространстве.

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Линейная алгебра".
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:  
–	овладеть основами теории линейных пространств и теории
линейных операторов в линейных евклидовых и унитарных пространствах;
–	овладеть методами решения линейных систем любого порядка, овладеть навыками вычислений, связанных с матрицами, с векторной алгеброй, с нахождением собственных векторов и собственных значений линейных операторов; 
–	уметь использовать методы линейной алгебры в курсе математического анализа и в различных разделах курса физики.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 1
  Форма контроля:  	2  семестр экзамен

№
п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		2 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	83	
2.	Самостоятельная работа	32	
3.	Аудиторных занятий	51	
	в том числе: лекций	34	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	17	

3. Содержание дисциплины

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К  ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ЕН.Ф.5
ЕН.Ф.5.3.	МАТЕМАТИКА
Линейная алгебра.
Матрицы и определители. Линейные пространства. Системы линейных уравнений. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в конечномерном пространстве. Билинейные и квадратичные формы.	713
83	
 Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится  прочерк.

СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1 	Основные алгебраические понятия. Группоид, моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Типы колец (ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, поля. Поля Zp, Z, Q, R, C. Тело кватернионов Гамильтона H. Алгебры над полем. Поле отношений целостного кольца.	      4	       0	
   2	Теория линейных пространств и линейных операторов. Аксиомы линейного пространства и их следствия. Размерность и базис. Линейное пространство матриц, линейное пространство решений однородной системы. Линейные подпространства и линейные оболочки. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о пополнении базиса. Теорема о размерности суммы подпространств. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения. Теорема о размерности ядра и образа линейного отображения. Композиция линейных отображений и умножение матриц. Линейный оператор. Обратимый и обратный к нему линейный оператор. Матрица линейного оператора. Обратимая и обратная к ней матрица. Общая матричная группа степени n над полем P. Теорема о вычислении обратной матрицы через присоединенную матрицу  и  детерминант. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Спектр линейного оператора. Теорема  о связи геометрической и алгебраической кратности собственного значения. Преобразование базиса  и преобразование матрицы линейного оператора. Инварианты линейного оператора: арифметические, числовые, алгебраические, линейные или векторные. Теорема об инвариантности характеристического многочлена. След и детерминант как числовые инварианты линейного оператора.	     12	     12	
   3 	Линейные, билинейные, квадратичные, полулинейные, эрмитовы формы. Линейная форма или ковектор. Сопряженное пространство и кобазис. Дуальный (взаимный) кобазис. Компоненты формы в данном базисе и их преобразование с преобразованием базиса. Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Матрица билинейной формы и ее преобразование  с преобразованием базиса. Невырожденные и вырожденные билинейные формы. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. Нормальный канонический вид матрицы квадратичной формы над полями C и R. Положительный и отрицательный индексы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Линейные евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Пространство Минковского. Времениподобные, пространственноподобные и световые векторы. Собственно евклидово пространство. Скалярное произведение. Ортогональность. Алгоритм Грама - Шмидта ортогонализации системы векторов в евклидовом пространстве. Полулинейные и эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве. Унитарное пространство.	       8	       2	
   4 	Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в линейных евклидовых и унитарных пространствах. Ортогональное дополнение и его свойства. Сопряженный, самосопряженный (или симметричный) и ортогональный операторы в Еn. Теоремы о спектре таких операторов. Теоремы о структуре симметричного и ортогонального операторов в Еn и их канонические виды в ортонормированном базисе. Классификация ортогональных преобразований евклидовой плоскости Е2 и евклидова пространства Е3. Теоремы о структуре самосопряженного и  унитарного операторов в унитарном пространстве Un и их канонические виды в ортонормированном базисе. Унитарная матрица, унитарная группа U(n), и специальная унитарная группа SU(n).	       6	       0	
   5 	Поверхности 2-го порядка в аффинном евклидовом пространстве. Аффинное пространство в точечно-векторной аксиоматике Г. Вейля. Аффинный базис и аффинные координаты точки. Преобразования аффинного базиса. Аффинное евклидово пространство и декартова система координат. Плоскости и поверхности второго порядка в AЕn. Алгоритм приведения поверхности 2-го порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием векторного базиса и параллельным переносом начала аффинного базиса. Центральные и нецентральные поверхности 2-го порядка. Канонические виды поверхнрстей 2-го порядка в n-мерном аффинном евклидовом пространстве и их рисунки для n=3.	       4 	       3	
				
	Итого	    34	17	

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1.	Кайгородов В.Р. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ― Казань: Изд-во Казанского университета, 1985.
2.	Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ― М.: Наука, 1979.
3.	Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ― М.: Наука, 1976.
4.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. ― М.: Наука, 1971.
5.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. ― М.: Наука, 1978.
6.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. ― М.: Наука, 1975.
7.	Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. ― М.: Наука, 1978.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1.	Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. ― М.: Наука, 1975.
2.	Шилов Г.Е. Конечномерные линейные пространства. ― М.: Наука, 1969.
3.	Кострикин А.И. Введение в алгебру. ― М.: Наука, 1977.
4.	Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. ― М.: Наука, 1979.
5.	Курош А.Г. Курс высшей алгебры.  ― М.: ГИФМЛ, 1968.

 Приложение  к программе дисциплины
 “Линейная алгебра”. 

БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ.

          Билет 1.
1. Аксиомы линейного пространства и их следствия.
2. Линейные формы. Сопряженные пространства. 

          Билет 2.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа.

          Билет 3.
1. Линейные отображения. Матрица отображения. Ядро и образ.
2. Теорема об инерции квадратичных форм.

          Билет 4.
1. Композиция линейных отображений. Умножение матриц.
2. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.

          Билет 5.
1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
2. Евклидово пространство. Ортогонализация системы векторов.

          Билет 6.
1. Преобразование базиса  и преобразование матрицы линейного оператора.
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.

          Билет 7.
1. Инварианты линейного оператора.
2. Изометрический оператор в Еn.

          Билет 8.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. самосопряженный оператор. Связь с квадратичными формами. 

          Билет 9.
1. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа.
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 10.
1. Теорема об инерции квадратичных форм.
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы.

          Билет 11.
1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
2. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы.

          Билет 12.
1. Билинейные формы. Преобразование матрицы билинейной формы при преобразовании базиса.
2. Алгоритм приведения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

          Билет 13.
1. Инварианты линейного оператора.
2. Аксиоматика аффинного пространства.

          Билет 14.
1. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.
2. Классификация поверхностей 2-го порядка в Е3.

          Билет 15.
1. Линейные отображения. Матрица отображения. Ядро и образ. 
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 16.
1. Обратимый оператор и обратная матрица. 
2. Изометрический оператор в Еn.

          Билет 17.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.

          Билет 18.
1. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм.
2. Аффинные пространства. Преобразование аффинной системы координат.

          Билет 19.
1. Линейные формы. Сопряженные пространства.
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы. 

          Билет 20.
1. Линейный оператор и его инварианты.
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 21.
1. Теорема об инерции квадратичных форм.
2. Теорема о собственных значениях и собственных векторах эрмитова оператора.