КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

	"УТВЕРЖДАЮ"
	  Проректор                  
	  __________В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Дифференциальные уравнения

Цикл ЕН. Ф.

Специальность: 010400 – Физика
Направление: 510400 – Физика

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины «Дифференциальные уравнения» предназначена для студентов 2 курса
по специальности: 010400 – Физика
по напрапвлению: 510400 - Физика

АВТОР:  Даишев А.Ю.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:   Курс лекций  «Дифференциальные уравнения» состоит из следующих разделов: Дифференциальные уравнения 1-го порядка с одной неизвестной функцией. Уравнения, не разрешенные относительно  производной.      Уравнения n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка.  Линейные уравнения n-го порядка. Общая теория линейных систем. Линейные системы с постоянными коэффициентами.  Теория устойчивости. Уравнения  с частными производными первого порядка.

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Дифференциальные уравнения"
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:  
–	 знать основные положения теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления;
–	овладеть методами решения соответствующих задач и упражнений;
–	уметь использовать эти понятия  и методы  при решении задач, возникающих в теоретической и математической физике. 

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 1
  Форма контроля:  	3  семестр зачет

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		3 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	112	
2.	Самостоятельная работа	40	
3.	Аудиторных занятий	72	
	в том числе: лекций	36	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	36	

3. Содержание дисциплины.  

ТРЕБОВАНИЯ   ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА   К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ЕН.Ф.4
ЕН.Ф.4.5	МАТЕМАТИКА
Дифференциальные уравнения.
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Уравнения первого порядка. Уравнения высших порядков. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория устойчивости. Уравнения в частных производных первого порядка.	150
112	
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1	Дифференциальные уравнения 1-го порядка с одной неизвестной функцией.
Формулировка и доказательство  теорем существования и единственности решения. Основные интегрируемые типы уравнений 1-го порядка. Уравнения, не разрешенные относительно  производной.	      8	       8	
2	Уравнения n-го порядка.
Уравнения, допускающие понижения порядка.  Линейные уравнения n-го порядка.      Общее решение линейного однородного уравнения. Линейные неоднородные      уравнения n-го порядка. Общее решение линейного неоднородного уравнения.  Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и их решение. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и нахождение данного решения для различных видов свободного члена. Метод вариации произвольных постоянных.	   6	       8	
3	Системы дифференциальных уравнений.     Нормальная система. Теорема существования и единственности решения. Системы линейных  уравнений.  Системы однородных уравнений. Теоремы о решении. Вронскиан решения. Фундаментальная матрица.      Общее решение и решение задачи Коши в матричной форме. Система неоднородных уравнений. Общее решение и решение задачи Коши в матричной форме. Нахождение интегрируемых комбинаций для системы и первые  интегралы. Решение системы уравнений, заданных в симметричной форме. Интегрирование системы дифференциальных  уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое  уравнение для однородной системы и характеристические числа. Решение однородной системы. Решение неоднородной системы, Метод вариации произвольных постоянных.	    8	      10	
4	Элементы теории устойчивости. 
Основные  определения и понятия теории устойчивости. Тривиальное решение и его устойчивость по Ляпунову. Простейшие типы точек покоя для однородной системы  двух уравнений с двумя неизвестными  и их устойчивость. Об исследовании на устойчивость по первому приближению. Метод функции Ляпунова. Основные теоремы  Ляпунова.	     4	      4	
5 	Уравнения  с частными производными первого порядка. 
Общее решение и задача Коши для линейного уравнения; общее решение и решение  Коши для квазилинейного уравнения.	     10	       6	
	                                       Итого часов	     36	    36    	

                                         ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
2. А.И.Тихонов, А.В.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения.

                                       ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.,  Издательство иностранной литературы, 1950. 

Приложение к программе дисциплины
«Дифференциальные уравнения».
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ

          Билет 1.
1. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное и неразрешенное относительно производной.
2. Общее решение и задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка.

          Билет 2.
1  Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
2. Общее решение и решение  задачи Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

          Билет 3.
1.   Основные интегрируемые типы уравнений 1-го порядка. 
2.  Основные  определения и понятия теории устойчивости. 

          Билет 4.
1. Теорема существования и единственности для уравнения, не разрешённого относительно производной. 
2. Тривиальное решение и его устойчивость по Ляпунову.
 
          Билет 5.
1. Уравнения n-го порядка. Уравнения, допускающие понижения порядка.
2.  Простейшие   типы точек   покоя   для    однородной системы     двух
уравнений с двумя переменными  и их устойчивость.

          Билет 6.
1.  Линейные уравнения n-го порядка.      Общее решение линейного однородного  уравнения  n-го порядка. 
2. Об исследовании на устойчивость по первому приближению.

          Билет 7.
1. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Общее решение линейного  неоднородного уравнения. 
2. Метод функции Ляпунова.

          Билет 8.
1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и их решение
2.  Основные теоремы  Ляпунова.

          Билет 9.
1. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и нахождение  решения для различных видов свободного члена.
 2.     Вронскиан решения. Фундаментальная матрица.
 
          Билет 10.
1.      Метод вариации произвольных постоянных в линейных уравнениях n-го порядка.
2. Общее решение и решение задачи Коши в матричной форме.

Билет 11.
1. Нормальная система. Теорема существования и единственности решения. 
2. Основные определения и понятия теории устойчивости.

          Билет 12.
1. Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений.      Теоремы о решении.
2. Уравнения не разрешённые относительно производной.

       Билет 13.
1.  Вронскиан решения. Фундаментальная матрица
2. Простейшие типы точек покоя для однородной системы двух уравнений с двумя переменными и их устойчивость. 

          Билет 14.
1.  Общее решение и решение задачи Коши в матричной форме. 
2.  Нахождение интегрируемых комбинаций для системы и первые интегралы.

          Билет 15.
1.  Система неоднородных уравнений.
2. Линейные уравнения n-го порядка. Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка.

          Билет 16.
1.  Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для однородной системы и характеристические числа. 
2. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Общее решение линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

          Билет 17.
1.  Решение однородной системы 
2.  Метод вариации произвольных постоянных в системах линейных неоднородных уравнений.

          Билет 18.
1. Интегрирование системы дифференциальных  уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка. 
2.  Об исследовании решения на устойчивость по первому приближению.
 
        Билет 19.
1. Нахождение интегрируемых комбинаций для системы и первые  интегралы.
 2. Общее решение и решение задачи Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

          Билет 20.
1.  Решение системы уравнений, заданных в симметричной форме. 
2.  Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и их решение.