КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

"УТВЕРЖДАЮ"           
	Проректор                  
	__________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Математический анализ

Цикл ЕН. Ф

 Специальность: 010400 – Физика
Направление: 510400 - Физика

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Математический анализ" предназначена для студентов 1, 2 курсов 
по специальности: 010400 – Физика
по направлению: 510400 - Физика

АВТОР: Даньшин А.Ю.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:  Данный курс состоит из следующих частей: 
а) дифференциальное исчисление функций одного переменного,
б) интегральное исчисление функций одного переменного,
в) дифференциальное исчисление функций многих переменных,
г) ряды (числовые, функциональные, степенные, Фурье),
д) несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметров,
е) интегральное исчисление функций многих переменных (кратные интегралы, криволинейные интегралы, поверхностные интегралы).

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины «Математический анализ»
	Современный научный работник или инженер должен в достаточной степени хорошо владеть как классическими, так и современными математическими методами исследования, которые могут применяться в его области. Для этого необходимо, прежде всего, иметь необходимые знания, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, в частности, методами математического анализа, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели.
	Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны овладеть основными понятиями теории функций одной и многих переменных, овладеть методами дифференцирования и интегрирования функций, приемами работы с рядами, уметь использовать эти понятия и методы при решении задач, возникающих в различных физических курсах.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 3
  Форма контроля:  	1  семестр зачет, экзамен
	2 семестр экзамен
	3 семестр экзамен

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		1 семестр	2 семестр	3 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	235	167	139	
2.	Самостоятельная работа	91	65	31	
3.	Аудиторных занятий	144	102	108	
	в том числе: лекций	54	51	54	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	90	51	54	

3. Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ЕН.Ф.4
ЕН.Ф.4.1	МАТЕМАТИКА
Математический анализ 
Предмет математики. Физические явления как источник математических понятий. Пределы и непрерывность функции. Производная функции. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций и построение их графиков. Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Геометрические приложения дифференциального исчисления. Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы. Ряды. Несобственные интегралы, интегралы, зависящие от параметра. Ряд и интеграл Фурье.  Элементы теории обобщенных функций.
	1150
550	
 Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится  прочерк.
3.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1 	Элементы теории множеств. 
Операции над множествами и их свойства. Подмножества. Отображения множеств. Инъекция, сюръекция, биекция. Композиция отображений. Числовые множества. Метод математической индукции. Комплексные числа. Верхние и нижние грани числовых множеств.	4	6	
2 	Теория пределов.
Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности. Бесконечно малые (большие) последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Число e. Монотонные последовательности. Подпоследовательности. Предельные точки последовательности. Критерий Коши.	6	12	
3 	Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность. 
Понятие функции. Понятие предельного значения функции. Понятие непрерывности функции. Классификация бесконечно-малых функций. Непрерывность элементарных функций. Предельные значения , , Классификация точек разрыва. Понятие равномерной непрерывности функций.  Верхняя и нижняя грани функции. Основные теоремы о непрерывных функциях на сегменте. 	8	16	
   4	Производная и дифференциал функции.
 Определение производной. Основные правила и формулы дифференцирования. Производные элементарных функций. 
Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков. Правила раскрытия неопределенностей. Основные теоремы для дифференцируемых функций  на отрезке (теорема Ферма, Лагранжа,Коши). Формула Тейлора. Различные виды остаточного члена в формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функции и построению графиков. (Признак монотонности функции. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Направление выпуклости, точки перегиба. Асимптоты. Построение графика). Приближенное решение уравнений методом "вилки", методом итераций, методом "хорд" и "касательных". Оценки скорости сходимости этих методов.	14	24	
   5	Неопределенный интеграл.
Неопределенный интеграл. Основные методы и формулы интегрирования. Алгебра многочленов. Разложения рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интегрирование дифференциального бинома. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических выражений.	10	16	
   6	6. Определенный интеграл.
Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Существование определенного интеграла для непрерывных  и кусочно-непрерывных функций. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения. Связь с неопределенным интегралом. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические  и физические приложения. Приближенное вычисление и оценка погрешностей. 	12	16	
   7	Функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных. Предельное значение функции. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Дифференцируемость сложной функции. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Неявные функции. Зависимость функций. Условный экстремум. Замена переменных.	20	20	
   8	Геометрические приложения дифференциального исчисления.
Касательная и нормаль. Особые точки плоских кривых. Порядок касания. Соприкасающаяся окружность. Кривизна плоской кривой. Огибающая семейства кривых и поверхностей. Эволюта и эвольвента. Параметрические уравнения линий в пространстве. Векторные функции скалярного аргумента и правила их дифференцирования. Основной трехгранник. Кривизна и кручение. Внутренние координаты на поверхности. Первая квадратичная форма. Измерение длины, углов, площадей на поверхности. Вторая квадратичная форма. Главные кривизны, полная и средняя кривизна поверхности.	    8	   8	
   9	Теория рядов
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Абсолютно  и  условно  сходящиеся  ряды.   Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Критерий равномерной сходимости. Теоремы о равномерно сходящихся рядах. Степенные ряды. Теорема Абеля. Разложение функций в степенные ряды.	14	14	
  10	Ряды и интегралы Фурье.
Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье по ортогональной системе элементов евклидова пространства. Неравенство Бесселя. Полные и замкнутые системы. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Влияние гладкости функции на порядок ее коэффициентов Фурье. Почленное дифференцирование ряда Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье и его комплексная форма.  Понятие обобщенной  функции. 	9	9	
   11	Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.
 Несобственные интегралы и признаки сходимости. Интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Непрерывность интегралов, зависящих от параметра. Эйлеровы интегралы. 	14	14	
  12	Двойные и n -- кратные интегралы. 
Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойного интеграла. Замена переменных. Геометрические и физические приложения. Тройные и n -- кратные интегралы. Их свойства и способы вычислений. Приближенное вычисление кратных интегралов. Понятие несобственных  кратных  интегралов. 	18	18	
  13	Криволинейные интегралы. 
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов. Сведение криволинейных интегралов к обыкновенным. Основные свойства, приложения.  Формула Грина. 	8	8	
  14	Поверхностные интегралы.
Задание поверхности с помощью векторных функций. Односторонние и двусторонние поверхности. Понятие площади поверхности. Понятие поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Вычисление поверхностных интегралов, их приложения. Формулы Остроградского и Стокса и их приложения. 	14	14	
				
	Итого часов: 	  159	 195	

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа,  ч.1,2.
2. Будак Б.М., Фомин Кратные интегралы и ряды. М., 1967.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ.Т.1, М.,1973, Т.2,М.,1970.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому 
    анализу,  М. , 1977.
5. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 1-3, М., 1974.
6. Никольский С. М. Курс математического анализа, Т.1-2, М., 1973.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1-2.

Дополнительная литература

1.	Анчиков А.М. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметров. Изд-во Казан. гос. ун-та, Казань, 1998.
2.	Анчиков А.М. Ряды (Учебно-методическое пособие) Изд-во Казан. гос. ун-та, Казань, 2003.

 Приложение  к программе дисциплины  «Математический анализ». 
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ

А)  Первый курс, первый семестр.

Билет 1
1.	Отображение множеств. Композиция отображений.
2.	Производные высших порядков сложной, обратной функций и функций, заданной параметрически.

Билет 2
1.	Свойства непрерывных функций на сегменте (теорема о сохранении знака, об обращении в нуль).
2.	Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Билет 3
1.	Асимптоты графика функции.
2.	Интегрирование простейших дробей.

Билет 4
1.	Достаточные условия локального экстремума.
2.	Число е.

Билет 5
1.	Предельное значение функции (определения). Свойства пределов функций.
2.	Первообразная для непрерывной функции. Формула Ньютона - Лейбница.

Билет 6
1.	Свойства сходящихся последовательностей, связанных неравенствами.
2.	Высшие производные некоторых элементарных функций ().

Билет 7
1.	Бесконечно малые последовательности и их свойства.
2.	Основные сведения о полиномах и их разложение на множители.

Билет 8
1.	Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонные последовательности и их пределы.
2.	Разложение правильной рациональной дроби на простейшие.

Билет 9
1.	Числовая последовательность и ее предел.
2.	Интегрирование простейших и рациональных дробей.

Билет 10
1.	Понятие множеств, операции над ними. Верхние и нижние грани числовых множеств.
2.	Формула Лейбница для n-ой производной.

Билет 11
1.	Точки разрыва и их классификация.
2.	Интегрирование линейных и дробно- линейных иррациональностей.

Билет 12
1.	Дифференциалы высших порядков.
2.	Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.

Билет 13
1.	Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба графика.
2.	Определение определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.

Билет 14
1.	Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма комплексного числа.
2.	Определенный интеграл с верхним переменным пределом и его свойства.

Билет 15
1.	Свойства непрерывных функций на сегменте (теоремы о промежуточных значениях, об ограниченности).
2.	Замена переменной под знаком определенного интеграла.

Билет 16
1.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их связь.
2.	Определенный интеграл, его основные свойства.

Билет 17
1.	Комплексные числа. Возведение в степень и извлечение корня.
2.	Формула Тейлора. Остаточный член.

Билет 18
1.	Производная функции. Дифференцируемость. Правила дифференцирования.
2.	Интегрирование по частям.  Интеграл .

Билет 19
1.	Первый замечательный предел и его следствия.
2.	Суммы Дарбу и их следствия.

Билет 20
1.	Второй замечательный предел и его следствия.
2.	Монотонность функции. Локальный экстремум. Необходимое условие.

Билет 21
1.	Непрерывность функции. Действия над непрерывными функциями.
2.	Интегрирование дифференциального бинома.

Билет 22
1.	Основные свойства сходящихся последовательностей, связанных равенствами.
2.	Дифференциал, его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.

Билет 23
1.	Первое правило Лопиталя.
2.	Замена переменной под знаком неопределенного интеграла.

Билет 24
1.	Второй замечательный предел и его следствия.
2.	Теоремы Ролля, Коши для дифференцируемых функций на сегменте.

Билет 25
1.	Сравнение бесконечно малых функций. Выделение главной части.
2.	Интегрирование квадратичных иррациональностей.

Билет 26
1.	Необходимое и достаточное условие точек перегиба.
2.	Интегрирование дифференциального бинома.

Б)  Первый курс, второй семестр

Билет 1
1.	Дифференцируемость функций n переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала.
2.	Почленное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов.

Билет 2
1.	Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства кривых.
2.	Коэффициенты Фурье и ряд Фурье по тригонометрической системе функций.

Билет 3
1.	Соприкосновение кривых. Соприкасающаяся окружность.
2.	Разложение функций в ряд Фурье по синусам и косинусам.

Билет 4
1.	Сложная функция и ее дифференцирование.
2.	О перестановке членов условно сходящегося ряда.

Билет 5
1.	Зависимость и независимость функций (теорема).
2.	Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Билет 6
1.	Понятие частной производной. Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
2.	Интегральный признак сходимости числового ряда.

Билет 7
1.	Формула Тейлора для функций и переменных.
2.	Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Билет 8
1.	Непрерывность функции n переменных. Теорема о сохранении знака непрерывной функции.
2.	Признак Даламбера сходимости числового ряда.

Билет 9
1.	Неявная функция. Теорема о существовании и единственности неявной функции.
2.	Признаки сравнения сходимости числового ряда.

Билет 10
1.	Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
2.	Некоторые приложения степенных рядов.

Билет 11
1.	Локальный экстремум (необходимое и достаточное условие).
2.	Функциональный ряд. Сходимость. Равномерная сходимость.

Билет 12
1.	Определение функции n переменных. Предел функции, повторные пределы.
2.	Ортогональные системы функций. Коэффициенты и ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Билет 13
1.	Дифференцирование функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений.
2.	Интервал и радиус сходимости числового ряда.

Билет 14
1.	Производная по направлению. Градиент.
2.	Задача о наименьшем квадратичном уклонении.

Билет 15
1.	Подмножества евклидова пространства n измерений.
2.	Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленный предельный переход).

Билет 16
1.	Сложная функция n переменных, ее непрерывность (тееорема).
2.	Равномерная сходимость степенных рядов (теорема).

Билет 17
1.	Последовательность точек в n-мерном пространстве и ее предел.
2.	Разложение функций в степенные ряды. Основная теорема о разложениях.

Билет 18
1.	Условный экстремум функции n переменных.
2.	Признак Дирихле сходимости числового ряда.

Билет 19
1.	Замена переменных в дифференциальных выражениях для функции одного аргумента.
2.	Признак Лейбница сходимости числового ряда.

Билет 20
1.	Евклидово пространство n измерений.
2.	Ряд Фурье в комплексной форме.

Билет 21
1.	Замена переменных в дифференциальных выражениях с частными производными.
2.	Полнота и замкнутость ортогональной системы.

В)  Второй курс, третий семестр

Билет 1
1.	Несобственный интеграл, зависящий от параметра 1-го рода. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
2.	Вычисление площади гладкой поверхности.

Билет 2
1.	Г-функция  и ее свойства.
2.	Криволинейные интегралы 2-го рода. Связь с интегралами 1-го рода. Вычисление.

Билет 3
1.	Г-функция, В - функция. Связь между ними.
2.	Формула Стокса.

Билет 4
1.	Замена переменных в тройных интегралах.
2.	Сведение поверхностного интеграла 1-го рода к двойному.

Билет 5
1.	Свойства равномерно сходящихся интегралов, зависящих от параметра.
2.	Формула Грина.

Билет 6
1.	Вычисление тройного интеграла.
2.	Приложения поверхностных интегралов.

Билет 7
1.	Тройной интеграл, его свойства.
2.	Г-функция  и ее свойства.

Билет 8
1.	Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность.
2.	Формула Стокса.

Билет 9
1.	Вычисление двойного интеграла.
2.	Приложения поверхностных интегралов.

Билет 10
1.	Суммы Дарбу. Классы интегрируемых функций по плоской области.
2.	Угол между двумя линиями на поверхности. 

Билет 11
1.	Двойной интеграл. Свойства.
2.	Криволинейные интегралы 1-го рода. Сведение к обыкновенному интегралу.

Билет 12
1.	Абсолютная сходимость несобственного интеграла 1-го рода. Признаки абсолютной сходимости.
2.	Формула Грина.

Билет 13
1.	Понятие n-мерного интеграла. Задача взаимного притяжения двух тел.
2.	Некоторые приложения криволинейных интегралов.

Билет 14
1.	Объем в криволинейных координатах.
2.	Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Критерий Коши.

Билет 15
1.	Отображение трехмерных областей. Криволинейные координаты (сферические, цилиндрические).
2.	Кривые на поверхности.  Длина дуги. Угол между двумя линиями на поверхности.

Билет 16
1.	Несобственные интегралы 1-го рода. Сходимость. Критерий Коши.
2.	Условия независимости криволинейного интеграла от пути.

Билет 17
1.	Отображение двумерных областей. Криволинейные координаты и площадь плоской фигуры.
2.	Криволинейные интегралы 2-го рода и их вычисление.

Билет 18
1.	Интеграл Пуассона - Эйлера.
2.	Формула Остроградского.

Билет 19
1.	Дифференцирование и интегрирование собственного интеграла, зависящего от параметра.
2.	Приложения двойных интегралов.

Билет 20
1.	Интеграл Дирихле.
2.	Понятие поверхности. Параметризация.

Билет 21
1.	Дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
2.	Криволинейные интегралы 1-го рода. Сведение к обыкновенному интегралу.

Билет 22
1.	Замена переменных в двойном интеграле.
2.	Признак Дирихле условной сходимости несобственного интеграла.