КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

"УТВЕРЖДАЮ"           
	  Проректор                  
	  __________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Методы математической физики

Цикл ОПД. Ф

Специальность: 013800 – Радиофизика и электроника
Направление: 511500 - Радиофизика

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Методы математической физики" предназначена для студентов 3 курса
по специальности: 013800 – Радиофизика и электроника
по направлению: 511500 - Радиофизика

АВТОР: Даишев Р.А.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:   Данный курс лекций состоит из трех частей: В первой части излагаются элементы теории специальных функций; во второй – основные  задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям математической физики и методы решения этих уравнений; в третьей - некоторые элементы теории обобщенных функций.

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Методы математической физики"
	Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны: - 
–	знать основные свойства и уметь работать с такими специальными функциями как функции Бесселя, полиномы Лежандра, присоединенные полиномы Лежандра, сферические функции;
–	знать основные типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и уметь приводить эти уравнения к каноническому виду;
–	уметь ставить краевые задачи и владеть методами решения этих задач;

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 1
  Форма контроля:  	5  семестр экзамен

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		5 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	200	
2.	Самостоятельная работа	128	
3.	Аудиторных занятий	72	
	в том числе: лекций	36	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	36	

3. Содержание дисциплины.
ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ОПД.Ф7.	Методы математической физики.
Специальные функции математической физики. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных. Классификация уравнений в частных производных второго порядка. Уравнения гиперболического типа. Уравнения параболического типа. Краевые задачи для уравнения колебаний и уравнения теплопроводности. Общая схема метода разделения переменных. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Элементы теории обобщенных функций.	200	
 Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится  прочерк.
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1 	А. Специальные функции. 
Основные уравнения для цилиндрических функций. Уравнение Бесселя. Решение его для нецелого индекса. Решение уравнения Бесселя для целого индекса. Рекуррентное соотношение для функции Бесселя. Функции Бесселя с полуцелым индексом. Функции Неймана и Ханкеля. Ортогональность функций Бесселя. Ряд Бесселя - Фурье. Уравнение Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра. Рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра. Полиномы Лежандра как решения уравнения  Лежандра. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра - Фурье. Присоединенные функции Лежандра и их выражение через производные от полиномов Лежандра. Решение 1-ой внутренней и внешней задач для шара в случае уравнения Лапласа. Сферические функции.	    10	    10	
2 	Б. Уравнения  математической  физики.
Вариационный принцип в физике. Вывод вариационным методом уравнений свободных и вынужденных малых  поперечных колебаний струны и мембраны. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых продольных колебаний тонкого стержня. Классификация уравнений 2-го порядка с частными производными и приведение их к каноническому виду. Формулировка краевых задач и задачи Коши. Существование и единственность решения 1-ой краевой задачи для уравнений гиперболического типа. Решение задачи Коши для  бесконечной струны. Физическая интерпретация 
решения. Решение задачи для свободных колебаний  однородной струны с закрепленными концами. Стоячие волны. Решение задачи для вынужденных колебаний однородной струны. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны с закрепленными границами.	    10	    12	
3 	Вывод уравнений теплопроводности для тела, стержня. Диффузия газа в трубе. Постановка краевых задач и задачи Коши для уравнений теплопроводности. Принцип максимума и минимума. Единственность решения 1-ой краевой задачи. Решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности без источников и с источниками. Задача Коши для бесконечного стержня. Функция Грина и ее физическая интерпретация. Дельта-функция Дирака.
	    6	    6	
   4	Уравнения эллиптического типа и краевые задачи для уравнений эллиптического типа.  Теорема единственности решения для задач Дирихле и Неймана. Решение 1-ой внутренней краевой задачи для круга. Формула Пуассона. Объемный потенциал и его свойства. Потенциал простого слоя, двойного слоя. Метод потенциала решения краевых задач для  уравнений эллиптического типа.
	    6	    8	
    5	С. Элементы теории обобщенных функций.  
Векторное пространство и пространство распределений. Дельта-распределение  Дирака.  Дифференцирование распределений.  Действия с распределениями.	       4		
	Итого часов: 	    36	    36	

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.М.  М., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1953.
3. Крикунов Ю.М. .Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям. Казань, Изд-во КГУ, 1970.
4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Главная редакция физико-математической  литературы, 1951.
5. Петровский И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений.  М.-Л., ., Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1951.
6. Аминова А.В., Сочнева В.А. Методы математической физики. ЧастьII., Изд. КГУ 1978. 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Очан Ю.С. Методы математической физики. М. «Высшая школа», 1965.
2. Краснов М.Л.  Интегральные уравнения. Введение в теорию.  М. «Наука », 1975.

 Приложение  к программе дисциплины
 «Методы математической физики. 

	БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ

          Билет 1.
1. Основные уравнения для цилиндрических функций. Уравнение Бесселя. Решение его для нецелого индекса. 
2. Вариационный принцип в физике. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых поперечных колебаний струны.

          Билет 2.
1. Решение уравнения  Бесселя с целым индексом.
2. Вывод уравнения колебаний мембраны.

          Билет 3.
1. Рекуррентное соотношение для функций Бесселя. 
2. Вывод уравнений свободных и вынужденных малых продольных колебаний тонкого стержня.

          Билет 4.
1. Функции Бесселя с полуцелым индексом. Функции Неймана и Ханкеля.
2.. Формулировка краевых задач для уравнений гиперболического типа.

          Билет 5.
1. Ортогональность функций Бесселя. Ряд Бесселя-Фурье.
2. Теорема о единственности решения для 1-ой краевой задачи в случае уравнения гиперболического типа. 

          Билет 6.
1. Уравнение Лежандра. Производящая функция и полиномы Лежандра. 
2. Формулировка и решение задачи Коши для струны. Формула Даламбера. Физическая интерпретация решения.

          Билет 7.
1. Рекуррентные соотношения  для полиномов Лежандра. Доказательство того, что полиномы Лежандра являются решениями уравнения  Лежандра.
2. Решение задачи о свободных колебаниях струны с закрепленными концами.

          Билет 8.
1. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра-Фурье.
2. Решение задачи о вынужденных колебаниях струны с закрепленными и незакрепленными концами. 

          Билет 9.
1. Присоединенные функции Лежандра. Дифференциальная  и интегральная формы для полиномов Лежандра (без вывода формул).
2. Решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве.

          Билет 10.
1. Сведения о сферических функциях.
2. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны с закрепленными границами.

          Билет 11.
1. Уравнения Фредгольма и Вольтерра I и II рода. Собственные значения и собственные функции ядра интегрального однородного уравнения.
2. Вывод уравнения теплопроводности. Диффузия газа в трубе.
Постановка краевых задач для уравнений параболического типа.

          Билет 12.
1. Решение уравнения Фредгольма II рода с вырожденным ядром. Альтернатива Фредгольма (доказательство этой теоремы для уравнения с вырожденным ядром).
2. Принцип максимума и минимума для уравнения теплопроводности. Теорема о единственности решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

          Билет 13.
1. Вторая и третья теоремы Фредгольма и доказательство этих теорем для уравнений с вырожденным ядром.
2. Решение 1-ой краевой задачи для уравнения теплопроводности без источника и с источником.

          Билет 14.
1. Теорема о существовании и единственности решения уравнения Фредгольма II рода с малым параметром.
2 Шаровые функции.

          Билет 15.
1. Сведения о приближенных методах решения интегрального уравнения.
2. Формулировка и решение задачи Коши для стержня в случае уравнения теплопроводности.

          Билет 16.
1. Функция Грина (источника) в задаче Коши для уравнения теплопроводности и ее физическая интерпретация. Дельта-функция Дирака.
2. Ортогональность полиномов Лежандра. Ряд Лежандра-Фурье.
 
          Билет 17.
1. Уравнения эллиптического типа и краевые задачи. Теоремы единственности решения 1-ой внутренней краевой задачи (задачи Дирихле и Неймана).
2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (гиперболический тип уравнения).

          Билет 18.
1. Решение 1-ой краевой задачи (внутренней) для круга. Формула Пуассона.
2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (параболический тип уравнения).

          Билет 19.
1. Объемный потенциал и его свойства.
2. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка (эллиптический тип уравнения).

          Билет 20.
1. Потенциал простого слоя, двойного слоя. Метод потенциала при решении краевых задач.
2. Решения внутренней и внешней задач для шара в случае уравнения Лапласа.