КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

	"УТВЕРЖДАЮ"
	  Проректор                  
	  __________В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Теория функций комплексного переменного

Цикл ЕН. Ф

Специальность: 013800 – Радиофизика и электроника
Направление: 511500 - Радиофизика

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Теория функций комплексного переменного" предназначена для студентов 2 курса
по специальности: 013800 – Радиофизика и электроника
по направлению: 511500 - Радиофизика

АВТОР: Даишев А.Ю.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:   

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Теория функций комплексного переменного"
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны: - 
–	овладеть основными понятиями теории функции комплексного переменного, такими как:  комплексные  числа, функции комплексного переменного, аналитические функции, рады аналитических функций, вычеты,  преобразование Лапласа и операционное исчисление,
–	овладеть методами   интегрирования и дифференцирования  функции комплексного переменного, методами  операционного исчисления, приёмами работы с  рядами  аналитических функций, 
–	уметь использовать эти понятия  и методы  при решении задач, возникающих в теоретической и математической физике. 

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 1
  Форма контроля:  	4  семестр экзамен

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		4 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	106	
2.	Самостоятельная работа	38	
3.	Аудиторных занятий	68	
	в том числе: лекций	34	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	34	

3.Содержание дисциплины

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ЕН.Ф.4.
ЕН.Ф.4.5.	МАТЕМАТИКА
Теория функций комплексного переменного. 
Комплексные числа. Аналитические функции и их свойства. Интеграл по комплексной переменной. Интеграл Коши. Ряды аналитических функций. Основные понятия теории конформных отображений. Преобразование Лапласа.	900
106	
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1 	А. Теория функций комплексного переменного.
Комплексные числа и арифметические операции  над ними. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в целую степень. Извлечение корня  n - ой степени. Возведение в комплексную степень числа e. Логарифм комплексного числа. Возведение в комплексную степень комплексного числа. Предел последовательности. Необходимые и достаточные условия сходимости последовательности. Неограниченная последовательность. Полная комплексная плоскость и сфера Римана.	6	6	
2 	Определение функции комплексного переменного. Однозначность. Однолистность. Кривые на комплексной плоскости. Односвязные и многосвязные области. Предел функции комплексного переменного.  Непрерывность функции комплексного переменного. Основные теоремы о непрерывных в замкнутой области функциях. Производная, дифференциал. Условия Коши - Римана. Аналитическая (регулярная) функция в точке, в области. Связь с гармоническими функциями. Геометрическая интерпретация производной в точке. Конформное отображение. Общие принципы. Дробно-линейное отображение. Функция Жуковского. Простейшие элементарные функции ,,. Области однолистности и соответствующие отображения. Ветви и точки разветвления для радикала, логарифма.	10	10	
3 	Интеграл и его свойства.  Интегральная  теорема  Коши  для односвязной области и многосвязной области. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл типа Коши. Существование производной любого порядка для аналитической функции. Ряды числовые и функциональные.
Равномерная  сходимость  для функционального комплексного ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Свойства суммы равномерно сходящегося ряда. Почленное дифференцирование  и  интегрирование  рядов.	6	6	
   4	Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Нули аналитической функции и единственность определения аналитической функции. Ряд Лорана. Разложение в ряд Лорана в кольце. Изолированные особые точки. Классификация изолированных особых точек. Теория вычетов. Основные теоремы. Приложения  к  вычислению  интегралов.
	6	6	
   5	Б. Операционное исчисление.
Функция-оригинал. Изображение или преобразование Лапласа функции-оригинала. Основная теорема для преобразования Лапласа. Свойства преобразования Лапласа. Таблица изображений. Дифференцирование оригинала и изображения. Интегрирование оригинала и изображения. Теоремы запаздывания и смещения. Свертка оригиналов. Формула Дюамеля. Операционный метод решения дифференциальных уравнений. Приложения операционного исчисления к расчету электрических цепей.
	6	6	
	
	Итого часов: 	  34	 34	

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций.  М.-Л. , 1950,
2. Лавреньев М.А. и Шабад Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.-Л., 1951.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 11-е изд. М., 1967.
4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М., 1974.
5. Шварц Л.  Анализ I. М., 1972.
6. Курош А.Г. Теория групп. М.,1967.
7. Аминова А.В., Сочнева В.А. Методы математической физики. Часть I., Изд. КГУ 1978. 
                                     
  ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Б.А. и Шабад Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. М., 1964. 
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. III., ч.2. М., 1958.
3. Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. Л.-М., 1933.
4. Курант Д.  Геометрическая теория функций комплексной переменной, 1934.

 Приложение  к программе дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ

          Билет 1.
1. Функция-оригинал. Преобразование Лапласа  или изображение функции-оригинала.  Основные теоремы для изображения.  
2. Комплексные числа и арифметические действия над ними.

          Билет 2.
1. Составление таблицы изображений и свойства преобразования Лапласа: 
а) линейность; б) подобие.
2. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа.  Возведение в целую  степень. Извлечение корня. 

          Билет 3.
1. Дифференцирование функции-оригинала. 
2. Возведение в комплексную степень числа e. Логарифм комплексного числа. Возведение в комплексную степень комплексного числа. 

          Билет 4.
1. Дифференцирование изображения и применение этой операции к составлению таблицы изображений.
2. Предел последовательности комплексных чисел. Необходимые и достаточные условия сходимости последовательности.

          Билет 5.
1. Интегрирование оригинала и изображения.
2. Неограниченная последовательность. Полная комплексная плоскость,  сфера Римана.

          Билет 6.
1. Теоремы запаздывания и смещения. 
2. Определение функции комплексного переменного. Открытые и замкнутые области. Предел функции комплексного переменного.

          Билет 7.
1. Свертка оригинала. Формула Дюамеля.
2. Непрерывность функции комплексного переменного. Основные теоремы о непрерывных функциях комплексного переменного  (без доказательства).

          Билет 8.
1. Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Производная и дифференциал функции комплексного переменного. Условия Коши - Римана. 

          Билет 9.
1. Операционный метод  решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Определение аналитической в области и в точке функции комплексного переменного, связь с гармоническими функциями.

          Билет 10.
1. Геометрическая интерпретация производной. Конформное отображение (общие принципы).
2. Интеграл от функции комплексного переменного. Интегральная теорема Коши для односвязной области.

          Билет 11.
1. Дробно-линейное отображение. Функция Жуковского.
2. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница для функции комплексного переменного.

          Билет 12.
1. Элементарная функция .  Области однолистности.
2. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Интегральная формула Коши.

          Билет 13.
1. Элементарная функция .  Области однолистности. 
2. Интеграл типа Коши. Существование производной любого порядка для аналитической функции.

          Билет 14.
1. Элементарные  функции w=sin z,  w=cos z  и их свойства. Области однолистности. 
2. Ряды с комплексными числами.  Функциональные ряды. Определение равномерной сходимости для функционального  комплексного ряда.

          Билет 15.
1. Ветви и точки ветвления для радикала  .
2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

          Билет 16.
1. Ветви и точки ветвления для логарифма  w = Ln z.
2. Аналитичность суммы функционального ряда.

          Билет 17.
1. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. 
2. Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

          Билет 18.
1. Теорема о сумме степенного ряда. Ряд Тейлора.
2. Теория  вычетов.  Основные теоремы.

          Билет 19.
1. Ряд Лорана. Разложение в ряд в кольце.
2. Единственность определения аналитической функции.

          Билет 20.
1. Изолированные особые точки. Необходимые и достаточные условия их существования.
2. Условия Коши--Римана. Прямая и обратная теорема.