КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

"УТВЕРЖДАЮ"           
	  Проректор                  
	  __________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Цикл ЕН. Ф

Специальность: 013800 – Радиофизика и электроника (вечернее отделение)

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 
Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
по специальности: 013800 – Радиофизика и электроника

АВТОР: Егоров А.И.
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: Данный курс состоит из следующих частей:
а) теория линейных систем,
б) векторная алгебра,
в) аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве,
г) основные алгебраические понятия,
д) теория линейных пространств  и линейных операторов,
е) линейные, билинейные, квадратичные, полулинейные, эрмитовы формы,
ж) самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в линейных евклидовых и унитарных пространствах,
з) поверхности второго порядка в аффинном евклидовом пространстве.

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра"
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:  
–	овладеть основами теории линейных систем, векторной алгеброй, аналитической геометрией на плоскости и в пространстве, теории линейных пространств и теории линейных операторов в линейных евклидовых и унитарных пространствах;
–	овладеть методами решения линейных систем любого порядка, овладеть навыками вычислений, связанных с матрицами, с векторной алгеброй, с нахождением собственных векторов и собственных значений линейных операторов; 
–	уметь использовать методы линейной алгебры и аналитической геометрии в курсе математического анализа и в различных разделах курса физики.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения вечерняя
 Количество семестров 2. 
 Форма контроля:  	1 семестр экзамен
	2 семестр экзамен

№ п/п	Виды учебных занятий	Количество часов	
		1 семестр	2 семестр	
1.	Всего часов по дисциплине	87	54	
2.	Самостоятельная работа	33	20	
3.	Аудиторных занятий	54	34	
	в том числе: лекций	36	17	
	семинарских (или лабораторно-практических) занятий	18	17	

3. Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К  ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГРАММЫ

Индекс 	Наименование дисциплины и ее основные разделы 	 Всего часов 	
ЕН.Ф.03
ЕН.Ф.03.02	МАТЕМАТИКА
Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
Определители второго и третьего порядка. Векторы и координаты на плоскости и в пространстве. Прямые на плоскости и в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка. Матрицы и определители. Линейные пространства. Системы линейных уравнений. Евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы в конечномерном пространстве. Билинейные и квадратичные формы.	  900
141	
 Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится  прочерк.

3.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

№  п/п 	Название темы и ее содержание 	 Количество  часов 	

		лекции 	(лаб.-практ.) занятия 	
1 	Теория линейных систем. Числовое поле. Системы линейных уравнений и основные определения: матрица и расширенная матрица, совместность, определенность, эквивалентность. Метод Гаусса решения линейной системы. Перестановки n-го порядка. Определитель n-го порядка и его свойства. Алгебраическое дополнение. Миноры k-го порядка. Ранг матрицы. Элементарные преобразования. Линейные (векторные) пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис. Теорема  о базисном миноре. Теорема Кронекера - Капелли. Рецепт решения произвольной системы. Нормальная фундаментальная система решений однородной линейной системы. Множество решений неоднородной линейной системы.	    10	      10	
2 	Векторная алгебра. Геометрический вектор. Линейное пространство геометрических векторов. Ортонормированный векторный базис. Аффинный базис евклидова пространства Е3. Декартов базис в Е3. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление в ортонормированном базисе, механический смысл. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление в ортонормированном базисе, механический смысл. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление в ортонормированном базисе, геометрический смысл. Двойное векторное произведение. Тождество Якоби.	    8	      8	
3 	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, площадь треугольника и объем тетраэдра. Явное, неявное и параметрическое уравнения линии на плоскости. Различные виды прямой на плоскости. Алгебраические кривые n-го порядка. Преобразование декартовой системы координат на плоскости. Классификация кривых 2-го порядка. Форма и свойства невырожденных кривых 2-го порядка (эллипс, гипербола, парабола): вершины, фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты. Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярой системе координат. Кривые 2-го порядка как конические сечения. Явное, неявное и параметрическое уравнение поверхностей в пространстве. Цилиндрическая и сферическая системы координат. Различные виды уравнения плоскости в пространстве: с нормальным вектором, общее, в отрезках, нормированное. Отклонение точки от плоскости. Задание линии в пространстве: параметрическое, как пересечение двух поверхностей. Различные виды прямой в пространстве. Типичные задачи на прямую и плоскость: расстояние от точки до прямой, нахождение точек симметричных относительно плоскости или прямой и т. д. Преобразование декартовой системы координат в пространстве. Углы Эйлера. Поверхности 2-го порядка в Е3 (уравнение и рисунок).	    18	      18	
4 	Основные алгебраические понятия. Группоид, моноид, полугруппа, группа. Кольцо. Типы колец (ассоциативные, коммутативные, антикоммутативные, лиевы, целостные). Тело и поле. Характеристика тела, поля. Поля Zp, Z, Q, R, C. Тело кватернионов Гамильтона H. Алгебры над полем. Поле отношений целостного кольца.	      4	       0	
   5 	Теория линейных пространств и линейных операторов. Аксиомы линейного пространства и их следствия. Размерность и базис. Линейное пространство матриц, линейное пространство решений однородной системы. Линейные подпространства и линейные оболочки. Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Теорема о пополнении базиса. Теорема о размерности суммы подпространств. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения. Теорема о размерности ядра и образа линейного отображения. Композиция линейных отображений и умножение матриц. Линейный оператор. Обратимый и обратный к нему линейный оператор. Матрица линейного оператора. Обратимая и обратная к ней матрица. Общая матричная группа степени n над полем P. Теорема о вычислении обратной матрицы через присоединенную матрицу  и  детерминант. Инвариантные подпространства, собственные векторы и собственные значения. Спектр линейного оператора. Теорема  о связи геометрической и алгебраической кратности собственного значения. Преобразование базиса  и преобразование матрицы линейного оператора. Инварианты линейного оператора: арифметические, числовые, алгебраические, линейные или векторные. Теорема об инвариантности характеристического многочлена. След и детерминант как числовые инварианты линейного оператора.	     12	     12	
   6 	Линейные, билинейные, квадратичные, полулинейные, эрмитовы формы. Линейная форма или ковектор. Сопряженное пространство и кобазис. Дуальный (взаимный) кобазис. Компоненты формы в данном базисе и их преобразование с преобразованием базиса. Билинейные формы. Симметричные и кососимметричные билинейные формы. Матрица билинейной формы и ее преобразование  с преобразованием базиса. Невырожденные и вырожденные билинейные формы. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа. Нормальный канонический вид матрицы квадратичной формы над полями C и R. Положительный и отрицательный индексы. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Линейные евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Пространство Минковского. Времениподобные, пространственноподобные и световые векторы. Собственно евклидово пространство. Скалярное произведение. Ортогональность. Алгоритм Грама - Шмидта ортогонализации системы векторов в евклидовом пространстве. Полулинейные и эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве. Унитарное пространство.	       8	       2	
   7 	Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы в линейных евклидовых и унитарных пространствах. Ортогональное дополнение и его свойства. Сопряженный, самосопряженный (или симметричный) и ортогональный операторы в Еn. Теоремы о спектре таких операторов. Теоремы о структуре симметричного и ортогонального операторов в Еn и их канонические виды в ортонормированном базисе. Классификация ортогональных преобразований евклидовой плоскости Е2 и евклидова пространства Е3. Теоремы о структуре самосопряженного и  унитарного операторов в унитарном пространстве Un и их канонические виды в ортонормированном базисе. Унитарная матрица, унитарная группа U(n), и специальная унитарная группа SU(n).	       6	       0	
   8 	Поверхности 2-го порядка в аффинном евклидовом пространстве. Аффинное пространство в точечно-векторной аксиоматике Г. Вейля. Аффинный базис и аффинные координаты точки. Преобразования аффинного базиса. Аффинное евклидово пространство и декартова система координат. Плоскости и поверхности второго порядка в AЕn. Алгоритм приведения поверхности 2-го порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием векторного базиса и параллельным переносом начала аффинного базиса. Центральные и нецентральные поверхности 2-го порядка. Канонические виды поверхнрстей 2-го порядка в n-мерном аффинном евклидовом пространстве и их рисунки для n=3.	       4 	       3	
				
	Итого	    70	   53	

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА.
1.	Кайгородов В.Р. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — Казань: Изд-во Казанского университета, 1985.
2.	Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
3.	Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1976.
4.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1971.
5.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1978.
6.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1975.
7.	Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. — М.: Наука, 1978.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1.	Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
2.	Шилов Г.Е. Конечномерные линейные пространства. — М.: Наука, 1969.
3.	Кострикин А.И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
4.	Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979.
5.	Курош А.Г. Курс высшей алгебры.  — М.: ГИФМЛ, 1968.
 Приложение  к программе дисциплины
 “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”. 

БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ.

А)   Первый семестр.

          Билет 1.
1. Метод Гаусса для линейных систем.
2. Прямая на плоскости. 

          Билет 2.
1. Определители n-го порядка. Свойства.
2. Преобразование декартовой системы координат на плоскости  в пространстве.

          Билет 3.
1. Алгебраические дополнения и миноры элементов определителя.
2. Кривые 2-го порядка на плоскости и их классификация.

          Билет 4.
1.Линнейная зависимость векторов. Размерность и базис линейного пространства.
2. Эллипс, гипербола, парабола.

          Билет 5.
1. Теорема о базисном миноре.
2. Цилиндрическая и сферическая системы координат в Е3.

          Билет 6.
1. Теорема Кронекера - Капелли.
2. Уравнения плоскости в пространстве.

          Билет 7.
1. Фундаментальная система решений однородных систем уравнений.
2. Уравнения прямой в пространстве.

          Билет 8.
1. Неоднородные системы. Множество решений.
2. Поверхности 2-го порядка в Е3. 

          Билет 9.
1. Скалярное произведение векторов и его свойства.
2. Уравнения прямой на плоскости.

          Билет 10.
1. Векторное произведение векторов и его свойства.
2. Преобразование декартовой системы координат на плоскости и в пространстве.

          Билет 11.
1. Смешанное произведение векторов и его свойства.
2. Кривые 2-го порядка на плоскости и их классификация.

          Билет 12.
1. Двойное векторное произведение. Тождество Якоби.
2. Эллипс, гипербола, парабола.

          Билет 13.
1. Метод Гаусса для линейных систем.
2. Цилиндрическая и сферическая системы координат в Е3.

          Билет 14.
1. Определитель n-го порядка и его свойства.
2. Уравнения плоскости в пространстве.

          Билет 15.
1. Алгебраические дополнения и миноры элементов определителя. 
2. Уравнение прямой в пространстве.

          Билет 16.
1. Ранг матрицы. 
2. Кривые 2-го порядка в Е3.

          Билет 17.
1. Теорема о базисном миноре.
2. Прямая на плоскости.

          Билет 18.
1. Теорема Кронекера - Капелли.
2. Преобразование декартовой системы координат на плоскости  в пространстве.

          Билет 19.
1. Нормальная фундаментальная система решений однородных систем уравнений.
2. Нормированное уравнение прямой. 

          Билет 20.
1. Множество решений неоднородной системы уравнений.
2. Типовые задачи на прямую и плоскость в Е3.

Б)   Второй семестр.

          Билет 1.
1. Аксиомы линейного пространства и их следствия.
2. Линейные формы. Сопряженные пространства. 

          Билет 2.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа.

          Билет 3.
1. Линейные отображения. Матрица отображения. Ядро и образ.
2. Теорема об инерции квадратичных форм.

          Билет 4.
1. Композиция линейных отображений. Умножение матриц.
2. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.

          Билет 5.
1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
2. Евклидово пространство. Ортогонализация системы векторов.

          Билет 6.
1. Преобразование базиса  и преобразование матрицы линейного оператора.
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.

          Билет 7.
1. Инварианты линейного оператора.
2. Изометрический оператор в Еn.

          Билет 8.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. самосопряженный оператор. Связь с квадратичными формами. 

          Билет 9.
1. Квадратичные формы. Теорема Лагранжа.
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 10.
1. Теорема об инерции квадратичных форм.
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы.

          Билет 11.
1. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
2. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы.

          Билет 12.
1. Билинейные формы. Преобразование матрицы билинейной формы при преобразовании базиса.
2. Алгоритм приведения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

          Билет 13.
1. Инварианты линейного оператора.
2. Аксиоматика аффинного пространства.

          Билет 14.
1. Критерий Сильвестра для квадратичных форм.
2. Классификация поверхностей 2-го порядка в Е3.

          Билет 15.
1. Линейные отображения. Матрица отображения. Ядро и образ. 
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 16.
1. Обратимый оператор и обратная матрица. 
2. Изометрический оператор в Еn.

          Билет 17.
1. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение.
2. Эрмитовы формы в комплексном линейном пространстве.

          Билет 18.
1. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм.
2. Аффинные пространства. Преобразование аффинной системы координат.

          Билет 19.
1. Линейные формы. Сопряженные пространства.
2. Унитарный оператор. Унитарные матрицы. 

          Билет 20.
1. Линейный оператор и его инварианты.
2. Теорема о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора.

          Билет 21.
1. Теорема об инерции квадратичных форм.
2. Теорема о собственных значениях и собственных векторах эрмитова оператора.