КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

  "УТВЕРЖДАЮ"          
	Проректор                  
	__________ В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Алгебра

Цикл ЕН.Ф.

Специальность: 013800  – Радиофизика и электроника
Специализация: 013817 – Компьютерные информационные системы и защита информации

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации
(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.) 
Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)

Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ. 								
(протокол №___ от "__"__________200__ г.) 

Председатель комиссии 
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Алгебра" предназначена для студентов 1 курса 
по специальности: 013800  – Радиофизика и электроника
Специализация: 013817 – Компьютерные информационные системы и защита информации

АВТОР: Иваньшин П.Н.

КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ:  

1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Алгебра".
Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:  
–	знать основные положения теории групп и линейной алгебры;
–	овладеть методами решения соответствующих задач;
–	уметь использовать эти методы при работе с конкретными приложениями и программами.

2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)
Форма обучения очная
 Количество семестров 2
  Форма контроля:  	1  семестр экзамен
	2  семестр экзамен

№
п/п

Виды учебных занятий

Количество часов

| | 1 семестр | 2 семестр
1. | Всего часов по дисциплине | 103 | 97
2. | Самостоятельная работа | 49 | 46
3. | Аудиторных занятий | 54 | 51
| в том числе: лекций | 36 | 17
| семинарских (или лабораторно-практических) занятий | 18 | 34

3. Содержание дисциплины.
ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К  ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ  ПРОГРАММЫ

Индекс | Наименование дисциплины и ее основные разделы | Всего часов

ЕН.Ф.2

Алгебра 
элементы комбинаторики; внутренние бинарные операции на множестве; основные алгебраические структуры: полугруппы, группы, кольца, поля и их простейшие свойства; операции над матрицами; элементарные преобразования матриц; определите-ли матриц; обратимые матрицы; ранг матрицы над полем; система линейных уравнений над полем; делимость и деле-ние с остатком в кольце целых чисел; основная теорема арифметики; поле комплексных чисел; кольца вычетов; уравнения в кольце вычетов и сравнения; кольцо многочленов;
каноническое разложение многочлена; свойства элементов группы, подгруппы группы; разложение группы в смежные классы и классы сопряженных элементов; произведение подгрупп; группа подстановок; нормальные делители группы; конечные абелевы группы; векторное пространство; конечномерные векторные пространства; подпространства; линейные преобразования векторных пространств; подобие матриц над полем; евклидовы и унитарные пространства; квадратичные формы; основные свойства элементов кольца, подкольца и идеалы кольца; прямые суммы колец и идеалов; простые поля; поле разложения многочлена; конечные поля; многочлены над конечными полями; нормальные формы матрицы над полем.

200

 Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится  прочерк.
СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

Семестр 1

№
п/п

Тема

Всего (час.)

Ауд. лекц.

Практ.

1 | Элементы комбинаторики | 4 | 2 | 2
2 | Основные алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца). Их простейшие свойства. Гомоморфизм. Группа подстановок. | 4 | 2 | 2
3 | Операции над матрицами, Элементарные преобразования матриц. | 4 | 2 | 2
4 | Определители матриц | 4 | 2 | 2
5 | Обратимые матрицы, ранг матрицы  над полем. | 4 | 2 | 2
6 | Системы линейных уравнений над полем. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная ситема решений. | 4 | 2 | 2
7 | Системы линейных неравенств. Методы решения. | 4 | 2 | 2
8 | Поле комплексных чисел | | |
9 | Делимость и деление с остатком в кольце целых чисел. Основная теорема арифметики. Кольца вычетов. Уравнения в кольце вычетов и сравнения. | 4 | 2 | 2
10 | Кольцо многочленов | 4 | 2 | 2
11 | Каноническое разложение многочлена. Лемма Безу. | 4 | 2 | 2
12 | Основная теорема алгебры | 2 | 1 | 1
13 | Классификация расширений полей. Конечные, алгебраические, трансцендентные раширения полей | 4 | 2 | 2

14

Простые поля.
Характеристика поля.

4

2

2

| Итого | 54 | 27 | 27

Семестр 2

№
п/п

Тема

Всего (час.)

Ауд. лекц.

Практ.

1 | Линейные (векторные) пространства | 4 | 2 | 2
2 | Линейные преобразования конечномерных пространств, ядро и образ. | 6 | 3 | 3
3 | Подобие матриц. | 4 | 2 | 2

4

Жорданова нормальная форма матрицы.
Нильпотентные матрицы.

8

4

4

5 | Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. | 4 | 2 | 2
6 | Евклидовы пространства. Ортогональные матрицы. Ортогоназизация Грама-Шмидта. | 4 | 2 | 2
7 | Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. | 4 | 2 | 2
8 | Унитарные пространства. Унитарные операторы. | 4 | 2 | 2

9

Полярное разложение матриц.
Модуль матрицы.

4

2

2

10 | Смежные классы группы. Подгруппы. Теорема Лагранжа. Смежные классы по подгруппе группы. | 4 | 2 | 2
11 | Нормальные подгруппы. Теорема о трех гомоморфизмах. Конечные абелевы группы. | 4 | 2 | 2
12 | Идеалы колец. Фактор-кольца. Прямые суммы колец и идеалов. Поле разложения многочлена. Многочлены над конечными полями. | 4 | 2 | 2
| Итого | 54 | 27 | 27

Литература
1.	А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М. 1994. 320 с. 
2.	А.Г.Курош. Курс высшей алгебры. М. 1968. 433 с. 
3.	Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре. М. 1977. 
4.	М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков. Основы теории групп. М. 1972.
5.	С. Ленг Алгебра. -М: Мир, 1968.

Примерные вопросы к экзаменам

1.	1. Элементы комбинаторики.
2. Идеалы колец. Фактор-кольца. Прямые суммы колец и идеалов. 
2.	1. Основные алгебраические структуры (полугруппы, группы, кольца). Их простейшие свойства. Гомоморфизм.
2. Поле разложения многочлена. Многочлены над конечными полями.
3.	1. Группа подстановок.
2. Нормальные подгруппы. Теорема о трех гомоморфизмах. Конечные абелевы группы.
4.	1. Операции над матрицами, Элементарные преобразования матриц.
2. Смежные классы группы. Подгруппы. 
5.	1.Определители матриц.
2. Теорема Лагранжа. Смежные классы по подгруппе группы.
6.	1. Обратимые матрицы, ранг матрицы  над полем. 
2. Модуль матрицы.
7.	1.Системы линейных уравнений над полем.
2. Полярное разложение матриц.
8.	1.Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная ситема решений.
2. Унитарные пространства. Унитарные операторы.
9.	1.  Метод Крамера. 
2.Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
10.	1. Системы линейных неравенств. Методы решения.
2.Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.
11.	1.Поле комплексных чисел.
2.Евклидовы пространства. Ортогональные матрицы. Ортогоназизация Грама-Шмидта.
12.	1.Делимость и деление с остатком в кольце целых чисел. Основная теорема арифметики.
2. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы.
13.	1.Кольца вычетов. Уравнения в кольце вычетов и сравнения.
2.Нильпотентные матрицы.
14.	1.Жорданова нормальная форма матрицы. Существование.
2. Кольцо многочленов.
15.	1.Жорданова нормальная форма матрицы. Единственность.
2.Подобие матриц.
16.	1.Каноническое разложение многочлена. Лемма Безу.
2.Линейные преобразования конечномерных пространств, ядро и образ.
17.	1. Основная теорема алгебры
2. Линейные (векторные) пространства.
18.	1.Конечные и бесконечные расширения полей. 
2.Характеристика поля. 
19.	1.Простые поля.
2. Алгебраические и трансцендентные раширения полейнечные автоматы. Операции над конечными автоматами.